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10-11 juin 2021 En distanciel (France)
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AteliersPlage d'ateliers - Thème 1 : Raisonner, prouver, démontrer… en classe et en formation
Jeudi 10 juin 2021, 11h
Atelier 1.A Les modes de raisonnement et de preuve comme apprentissages possibles de la résolution de problèmes en mathématiques Maud Chanudet & Stéphane Favier (Université de Genève, équipe DiMaGe) La résolution de problèmes occupe une place centrale dans les programmes suisses de mathématiques, au primaire comme au secondaire. Pour autant, il n’est pas simple d’identifier les apprentissages auxquels elle permet de contribuer lorsqu’elle est considérée comme un objet d’apprentissage à part entière. Dans cet atelier, nous présenterons une manière de considérer ces apprentissages possibles du point de vue des types de raisonnements mathématiques et des processus de preuve mobilisés lors de la résolution de problèmes. Après des apports théoriques, nous proposerons aux participants d’analyser différents problèmes dans le but d’identifier les types de raisonnement en jeu. Nous présenterons différentes opérationnalisations de ces éléments, et notamment une utilisation en contexte de formation continue.
Atelier 1.B Expérimenter, raisonner et prouver en mathématiques : le cas du problème de Wang Mickaël Da Ronch, Michèle Gandit & Sylvain Gravier (Institut Fourier, SFR Maths à modeler, CNRS, Université Grenoble Alpes) Au cours de cet atelier, nous présenterons comment on peut travailler la preuve, en tant que processus, au cours d’une situation de recherche (Grenier et Payan, 2003 ; Gandit, Giroud et Godot, 2011), issue d’un problème de mathématiques discrètes : le problème de Wang (1961). Cette situation a déjà fait l’objet de multiples expérimentations, avec des publics divers, allant de l’école jusqu’à l’université, et également suivant des modalités différentes. Après une introduction épistémologique et historique du problème, les participants à l’atelier seront invités à manipuler du matériel en lien direct avec notre situation dans l’objectif de développer des actions idoines à l’activité mathématique telles que : expérimenter, conjecturer, raisonner ou encore prouver. A cette occasion, nous identifierons les différentes stratégies permettant de répondre, au moins en partie, au problème général, ainsi que les connaissances mobilisées et visées dans cette situation (Da Ronch, Gandit et Gravier, 2020). Ainsi cette séance de travail sera l’occasion d’expliciter certains éléments d’analyse a priori de la situation de recherche, avec des phases d’action, de formulation et de validation (Brousseau, 1998), construite à partir du problème de Wang, transposé aussi bien dans une classe de cycle 3 qu’à l’université ou en formation des enseignants.
Atelier 1.C Situation de recherche pour la classe : Pac-Man contre les fantômes Camille Antoine, Emmanuel Beffara, Rémi Molinier, Florence Paulin & Denise Grenier (groupe "Raisonnement, Logique, Situations de Recherche pour la Classe" de l'IREM de Grenoble) La situation proposée est un problème d'optimisation discrète, qui amène les élèves à expérimenter pour conjecturer puis nécessite une preuve algorithmique. Dans un premier temps, nous placerons les participants à l'atelier dans la position des élèves, en leur faisant expérimenter la situation. Les participants travaillerons en groupes, les résultats étant mis en communs, analysés puis institutionnalisés. Nous présenterons ensuite des résultats expérimentaux (observations en classe) ainsi que de réflexions sur des aspects de gestion. L'atelier se clôturera par une discussion avec les participants sur l'intérêt des situations de recherche pour l'apprentissage de la démarche expérimentale, du raisonnement et de la preuve. Règle du jeu
Atelier 1.D Justifier, au niveau du lycée, l’intervalle de fluctuation d’échantillonnage des fréquences Jannick Trunkenwald, Moulaye Benmansour & Mohamed Zorai (Lycée International Alexandre Dumas, Alger) Des expérimentations en classe ont été réalisées par le laboratoire de mathématique hébergé par le lycée français d’Alger. L'objectif était de réaliser une ressource portant sur l’enseignement des probabilités qui soit exploitable en formation au niveau d’un réseau d’ établissements partenaires Algériens. La thématique abordée dans cet atelier se focalise sur les aspects liés aux différents types de raisonnements pouvant être mobilisés pour justifier l’intervalle de fluctuation d’échantillonnage des fréquences : preuve déductive de type discursive, preuve déductive en appui sur l’informatique, raisonnement inductif de type instrumental... Il s’agit d’aborder la nature du travail mathématique qui est fourni par l’élève pour résoudre les différentes tâches auxquelles il peut être confronté lorsqu’il aborde le lien entre probabilité et fréquence des succès. Les rôles respectifs de l’informatique, et de la simulation sont au passage requestionnés en regard de questions liées à la modélisation. L'analyse des séances exploite les concepts d'Espace de Travail Mathématique (Kuzniak, 2011) afin de mieux identifier le processus de validation (Nechache, 2016). Ces travaux sont aussi liés à une thèse en cours. Documents :
Plage d'ateliers - Thème 2 : Décrire et comprendre les pratiques enseignantes – impact sur la formation Vendredi 11 juin 2021, 10h30
Atelier 2.A Le cadre de la problématisation : Quels outils pour la formation des enseignants ? Sylvie Grau (INSPE Nantes, lycée Carcouët de Nantes) Le cadre de la problématisation (Fabre & Orange, 1997) apporte des éléments de compréhension de l’activité, qu’il s’agisse de l’activité de l’élève ou de celle de l’enseignant. Il peut donc outiller l’analyse a priori en permettant à l’enseignant de mettre en relation les procédures qu’il pense que ses élèves vont mobiliser, avec les connaissances et représentations qu’ont les élèves. Cette mise en tension donne accès aux nécessités qui relèvent du registre des modèles mobilisés par les élèves. Les espaces de contraintes (Orange, 2005) organisent ces éléments et peuvent mettre en évidence des registres explicatifs, considérés comme des grands paradigmes qui configurent trois mondes, le scientifique, le culturel et le scolaire. Ces espaces peuvent ouvrir de nouvelles pistes d’analyse pour amener l’enseignant à mieux anticiper ce qu’il s’agit d’expliciter à l’élève, ce qu’il doit institutionnaliser ou la manière dont il peut envisager l’étayage. A l’issue de la séance, le losange de problématisation (Fabre, 2011) peut servir de modèle pour une analyse réflexive (Estrela, 2001). Il permet de mettre en tension les données considérées comme les faits observés ou construits pendant la séance et les connaissances, les représentations de l’enseignant. Ici encore, il s’agit de donner des éléments de compréhension du registre explicatif qui organise l’activité de l’enseignant et de mettre en lumière d’éventuelles nécessités qui empêchent ou au contraire favorisent l’agir de l’enseignant. Dans cet atelier, nous proposons d’expliciter le cadre de la problématisation et de faire expérimenter ces deux outils et leur transposition sur deux exemples : les espaces de contraintes dans le cadre de l’analyse a priori d’une séance sur les fonctions affines (Grau, 2017) et le losange de problématisation utilisé lors de l’analyse réflexive d’une stagiaire du premier degré suite à une visite dans sa classe de cycle 1.
Atelier 2.B Débuter dans l’enseignement des mathématiques au collège : réussites et difficultés au regard de la formation initiale Christine Choquet (INSPE de Nantes) Cette contribution vise à présenter une recherche en cours interrogeant l’impact de la formation initiale sur les pratiques des enseignants débutants (« Débuter : quelles activités en formation pour quelles pratiques ? Le cas des Mathématiques »). En lien avec le thème 2 du colloque, nous proposons aux participants d’étudier le travail ainsi mené dans notre groupe de recherche. Les résultats des analyses, mobilisant le cadre théorique de la double approche didactique et ergonomique (Robert, 2008), montrent des réussites et des difficultés dans les pratiques des débutants en lien avec la formation qu’ils ont reçue mais également dues à des causes externes à cette formation. Le corpus d’étude s’intéressant en particulier à deux professeurs de collège sera présenté et les résultats proposés à la discussion afin de questionner les pistes de formation qui, d’après nous, permettent d’assurer un développement professionnel axé sur l’enseignement/apprentissage des mathématiques. Diaporama
Atelier 2.C Comment analyser les pratiques enseignantes lors de séances fondées sur une investigation ? Chantal Tufféry-Rochdi (INSPE de l’Académie de Paris) Dans le programme de mathématiques du cycle 4, il est demandé aux enseignants d’amener les élèves à développer, entre autres, les compétences suivantes : - mener collectivement une investigation en sachant prendre en compte le point de vue d’autrui ; - s’engager dans une démarche scientifique, observer, questionner, manipuler, expérimenter, émettre une conjecture ; - tester, essayer plusieurs pistes de résolution. (BOEN spécial n° 11 du 26 novembre 2015) Les professeurs de mathématiques sont donc conduits à concevoir et mettre en œuvre des séances fondées sur une investigation. La question abordée dans l’atelier sera la suivante : comment, en tant que formateur, analyser les pratiques enseignantes lors de telles séances ? Cette question s’inscrit dans le thème 2 et vise à outiller le formateur pour comprendre et analyser les pratiques enseignantes. Nous faisons également l’hypothèse qu’une réflexion sur les attendus lors de séances fondées une investigation pourrait amener les formateurs à mieux expliciter leurs attentes et ainsi mieux accompagner les stagiaires lors de formations initiales ou continues.
Atelier 2.D Une ingénierie visant la formulation d’une définition de la limite d’une suite en Terminale Sylvie Alory (Lycée La Fontaine, Paris/IREM de Paris), Renaud Chorlay (INSPE de l’académie de Paris, Laboratoire de Didactique André Revuz) & Vincent Josse (Lycée La Fontaine, Paris) A la transition entre le secondaire et le supérieur, la rencontre avec une définition de la notion de limite constitue l’un des points de passage obligés pour l’entrée dans le système de preuve de l’analyse. Depuis les années 1970, de nombreuses études didactiques ont construit un corpus cohérent relatif aux défis et difficultés spécifiques à cette notion ; plusieurs ingénieries ont exploré des pistes visant à les surmonter. Nous présentons ici une ingénierie conçue dans le cadre de la théorie des situations didactiques et visant à la formulation – par des élèves de terminale scientifique et dans des conditions d’enseignement ordinaire (2h, en classe entière) – d’une définition mathématiquement correcte de la notion de limite infinie d’une suite numérique. Cet atelier permet d’illustrer les formes de raisonnement mises en œuvre dans un travail de construction de définition. On s’inscrit ici dans la perspective des travaux de Cécile Ouvrier-Buffet (2013), tout en proposant de compléter la gamme des situations de construction de définition en mettant l’accent sur les tâches de différenciation conceptuelle entre concepts à la proximité trompeuse. Cette proposition s’inscrit dans le thème 2, car l’analyse a posteriori a nécessité l’utilisation et l’adaptation d’outils d’analyse des pratiques enseignantes dans le cadre d’une situation co-didactique (ou à dimension adidactique). Après une présentation des choix ayant présidé à la conception de l’ingénierie, une partie « atelier » portera sur l’analyse d’extraits de productions écrites des élèves et de transcriptions des enregistrements de séance. |
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